Элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Пусть имеется множество X {\displaystyle X} , на котором введено отношение порядка .
Последовательность элементов множества X {\displaystyle X} называется неубывающей , если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.
{ x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - неубывающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1}}Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется невозрастающей , если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.
{ x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - невозрастающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1}}Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется возрастающей , если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.
{ x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - возрастающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n < x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется убывающей , если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.
{ x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} - убывающая ⇔ ∀ n ∈ N: x n > x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1}}монотонной , если она является неубывающей, либо невозрастающей.
Последовательность называется строго монотонной , если она является возрастающей, либо убывающей.
Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.
Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» - в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.
Промежутки монотонности
Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , а лишь для номеров из некоторого диапазона
I = { n ∈ N ∣ N − ⩽ n < N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n(здесь допускается обращение правой границы N + {\displaystyle N_{+}} в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке I {\displaystyle I} , а сам диапазон I {\displaystyle I} называется промежутком монотонности последовательности.
Определение 1. Последовательностьназываетсяубывающей (невозрастающей ), если для всех
выполняется неравенство
.Определение 2. Последовательность
называетсявозрастающей
(неубывающей
),
если для всех
выполняется неравенство
.Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называютсямонотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют такжестрого монотонными последовательностями.
Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны.
Пример 1. Последовательность
возрастает,не
убывает,
убывает,
не возрастает,
– немонотонная последовательность.Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая
Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.
Доказательство . Пусть последовательность
не убывает и ограничена сверху, т.е.
и множество
ограничено сверху. По теореме 1 § 2
существует
.
Докажем, что
.Возьмем
произвольно. Посколькуа
– точная
верхняя граница, существует номерN
такой, что
.
Так как последовательность неубывающая,
то для всех
имеем,
т.е.
,
поэтому
для всех
,
а это и означает, что
.Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, доказательство проводится аналогично (студенты могут доказать это утверждение дома самостоятельно ). Теорема доказана.
Замечание . Теорему 1 можно сформулировать иначе.
Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.
Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 5.
Условие монотонности не является необходимым для сходимости последовательности, так как сходящаяся последовательность не обязательно монотонна. Например, последовательность
не монотонная, однако сходится к нулю.Следствие . Если последовательность
возрастает (убывает) и ограничена сверху
(снизу), то
(
).Действительно, по теореме 1
(
).Определение 4. Еслии
при
,
то последовательностьназываетсястягивающейся системой
вложенных отрезков
.Теорема 3 (принцип вложенных отрезков). У всякой стягивающейся системы вложенных отрезков существует, и притом единственная, точкас , принадлежащая всем отрезкам этой системы.
Доказательство . Докажем, что точкас существует. Поскольку
,
то
и, следовательно, последовательность
не убывает, а последовательность
не возрастает. При этом
и
ограничены, так как.
Тогда по теореме 1 существуют
и
,
но так как
,
то
=
.
Найденная точкас
принадлежит всем
отрезкам системы, так как по следствию
теоремы 1
,
,
т.е.
для всех значенийn
.Покажем теперь, что точка с – единственная. Предположим, что таких точек две:с иd и пусть для определенности
.
Тогда отрезок
принадлежит всем отрезкам
,
т.е.
для всехn
, что
невозможно, так как
и, значит, начиная с некоторого номера,
.
Теорема доказана.Отметим, что здесь существенно то, что рассматриваются замкнутые промежутки, т.е. отрезки. Если рассмотреть систему стягивающихся интервалов, то принцип, вообще говоря, неверен. Например, интервалы
,
очевидно, стягиваются в точку
,
однако точка
не принадлежит ни одному интервалу этой
системы.Рассмотрим теперь примеры сходящихся монотонных последовательностей.
1) Число е .
Рассмотрим теперь последовательность
.
Как она себя ведет? Основаниестепени
,
поэтому
?
С другой стороны,
,
а
,
поэтому
?
Или предел не существует?Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим вспомогательную последовательность
.
Докажем, что она убывает и ограничена
снизу. При этом нам будет нужнаЛемма . Если
,
то для всех натуральных значенийn
имеем
(неравенство Бернулли).
Доказательство . Воспользуемся методом математической индукции.
Если
,
то
,
т.е. неравенство верно.Предположим, что оно верно для
и докажем его справедливость для
+1.Верно
.
Умножим это неравенство на
:Таким образом, . Значит, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли верно для всех натуральных значенийn . Лемма доказана.
Покажем, что последовательность
убывает. Имеем
׀неравенство
Бернулли׀
,а это и означает, что
последовательность
убывает.Ограниченность снизу следует из неравенства
׀неравенство
Бернулли׀
для всех натуральных значенийn
.По теореме 1 существует
,
который обозначают буквойе
. Поэтому
.Число е иррационально и трансцендентно,е = 2,718281828… . Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов.
Замечания . 1) Неравенство Бернулли можно использовать для доказательства того, что
при
.
Действительно, если
,
то
.
Тогда, по неравенству Бернулли,при
.
Отсюда при
имеем
,
то есть
при
.2) В рассмотренном выше примере основание степени
стремится к 1, а показатель степениn
– к
,
то есть имеет место неопределенность
вида
.
Неопределенность такого вида, как мы
показали, раскрывается с помощью
замечательного предела
.2)
(*)Докажем, что эта последовательность сходится. Для этого покажем, что она ограничена снизу и не возрастает. При этом воспользуемся неравенством
для всех
,
которое является следствием неравенства
.Имеем
см.
неравенство выше
,
т.е. последовательность ограничена
снизу числом
.Далее,
так
как
,
т.е. последовательность не возрастает.По теореме 1 существует
,
который обозначимх
. Переходя в
равенстве (*) к пределу при
,
получим
,
т.е.
,
откуда
(берем знак «плюс», так как все члены
последовательности положительны).Последовательность (*) применяется при вычислении
приближенно. За
берут любое положительное число.
Например, найдем
.
Пусть
.
Тогда
,.
Таким образом,
.3)
.Имеем
.
Поскольку
при
,
существует номерN
,
такой, что для всех
выполняется неравенство
.
Таким образом, последовательность
,
начиная с некоторого номераN
,
убывает и ограничена снизу, так как
для всех значенийn
.
Значит, по теореме 1 существует
.
Поскольку
,
имеем
.Итак,
.4)
,
справа –n
корней.Методом математической индукции покажем, что
для всех значенийn
.
Имеем
.
Пусть
.
Тогда,
отсюда получаем утверждение по принципу
математической индукции. Используя
этот факт, находим,
т.е. последовательность
возрастает и ограничена сверху. Поэтому
существует,
так как
.Таким образом,
.Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x n , то говорят, что задана числовая последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
Число x 1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x 2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n называют членом последовательности с номером n .
Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы .
Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности
x 1 , x 2 , … x n , …
с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n от его номера n .
Пример 1 . Числовая последовательность
1, 4, 9, … n 2 , …
задана с помощью формулы общего члена
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .
x 1 , x 2 , … x n , …
называют возрастающей последовательностью, больше предшествующего члена.
Другими словами, для всех n
x n + 1 > x n
Пример 3 . Последовательность натуральных чисел
1, 2, 3, … n , …
является возрастающей последовательностью .
Определение 2. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
x n + 1 < x n
Пример 4 . Последовательность
заданная формулой
является убывающей последовательностью .
Пример 5 . Числовая последовательность
1, - 1, 1, - 1, …
заданная формулой
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.
Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .
Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 4. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
Определение 5. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
Определение 6. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
m < x n < M
Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными , называют неограниченными последовательностями .
Пример 6 . Числовая последовательность
1, 4, 9, … n 2 , …
заданная формулой
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
ограничена снизу , например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху .
Пример 7 . Последовательность
заданная формулой
является ограниченной последовательностью , поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Любая монотонная ограниченная последовательность { x n } имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup { x n } для неубывающей и точной нижней границе, inf { x n } для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.Доказательство
1) неубывающей ограниченной последовательностью .
(1.1) .Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную верхнюю границу
.
Это означает, что:- для всех n
,
(1.2) ; - для любого положительного числа ,
существует такой номер ,
зависящий от ε
,
так что
(1.3) .
.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Первая часть теоремы доказана.2) Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью :
(2.1) для всех n .Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:- для всех n
выполняются неравенства:
(2.2) ; - для любого положительного числа ,
существует такой номер ,
зависящий от ε
,
для которого
(2.3) .
.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3) Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью .Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:
(3.1) .Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(3.2) .Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).
.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью .
Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1) для всех n .Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(4.2) .Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M , так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.Пример решения задачи
Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
, , . . . , , . . .
После чего найти ее предел.Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1) .
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть . Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2) .
Поскольку , то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.
Найдем этот предел. Обозначим его через a :
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей :
.
Условию удовлетворяет корень . - для всех n
,